Страница:
<< 101 102 103 104
105 106 107 >> [Всего задач: 594]
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в
300
o каждая,
чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.
Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Даны натуральные числа a и b, причём a < b < 2a. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике a×b или b×a есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального N найдётся клетчатый квадрат N×N, в котором отмечено хотя бы αN² клеток?
На плоскости проведено 3000 прямых, причём никакие две из них не параллельны и
никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на
куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее: а) 1000 треугольников,
б) 2000 треугольников.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
X и
Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник
X содержится
внутри
Y. Пусть
S(
X) и
S(
Y) — площади этих многоугольников, а
P(
X) и
P(
Y) — их периметры. Доказать, что
< 2
. 
.
Страница:
<< 101 102 103 104
105 106 107 >> [Всего задач: 594]
Фильтр
