Страница:
<< 72 73 74 75
76 77 78 >> [Всего задач: 609]
На каждой из трёх осей установлено по одной вращающейся шестерёнке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестерёнке 33 зубца, на второй – 10, на третьей – 7. На каждом зубце первой шестерёнки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я.
На зубцах второй и третьей шестерёнки в порядке возрастания по часовой стрелке написаны цифры от 0 до 9 и от 0 до 6 соответственно. Когда стрелка первой оси указывает на букву, стрелки двух других осей указывают на цифры.
Буквы сообщения шифруются последовательно. Зашифрование производится вращением первой шестерёнки против часовой стрелки до первого попадания шифруемой буквы под стрелку. В этот момент последовательно выписываются цифры, на которые указывают вторая и третья стрелки. В начале шифрования стрелка 1-го колеса указывала на букву А, а стрелки 2-го и 3-го колес – на цифру 0.
Зашифруйте слово О Л И М П И А Д А.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3
бесконечно.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
|
[Алгоритм Евклида]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
а) Пусть m0 и m1 – целые числа, 0 < m1 ≤ m0.
Докажите, что при некотором k > 1 существуют такие целые числа a0, a1, ..., ak и m2, ..., mk, что
m1 > m2 > m3 > ... > mk > 0, ak > 1,
m0 = m1a0 + m2,
m1 = m2a1 + m3,
m2 = m3a2 + m4,
...
mk–2 = mk–1ak–1 + mk,
mk–1 = mkak,
и (m0, m1) = mk.
б) Докажите, что для любого s от k – 1 до 0 существуют такие числа us, vs, что msus + ms+1vs = d, где d = (m0, m1).
В частности, для некоторых u и v выполняется равенство m0u + m1v = d.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Пусть (a, b) = 1 и a | bc. Докажите, что
a | c.
Страница:
<< 72 73 74 75
76 77 78 >> [Всего задач: 609]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Деление с остатком. Арифметика остатков
