Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 399]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57315

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Теорема косинусов ] [ Неравенства для остроугольных треугольников ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64749

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Соображения непрерывности ] [ Доказательство от противного ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73658

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98330

Темы:   [ Итерации ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  y = f(x),  для которой  f(f(x)) = x² – 1996  при всех x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98626

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 399]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями