Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 423]

Задача 116889

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Приложения интеграла (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61408

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что для любых x₁,..., x_n $\in$ [0; $\pi$ ] справедливо неравенство:

sin $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 66897

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Прислать комментарий Решение

Задача 79539

Темы:	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
Темы:	[	Бесконечные пределы и пределы на бесконечности	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции y = 2^x?

Прислать комментарий Решение

Задача 86118

Темы:	[	Системы тригонометрических уравнений и неравенств	]
Темы:	[	Производная и экстремумы	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Авторы: Ященко И.В., Голенищева-Кутузова Т.И.

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{ sin x+a=bx

cos x=b

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 423]