Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 418]
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти
площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек
A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство 
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Вычислите
$$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) \, dx.$$
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 418]
Фильтр
