Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 423]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78675

Темы:   [ Композиции симметрий ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Две прямые на плоскости пересекаются под углом . На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол измеряется рациональным числом градусов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105063

Темы:   [ Итерации ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть из точки x либо в точку x/3^1/2, либо в точку x/3^1/2+(1-(1/3^1/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109534

Темы:   [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115397

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Ограниченность, монотонность ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Последовательность a₁,a₂,.. такова, что a₁(1,2) и a_k+1=a_k+ при любом натуральном  k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73620

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Индукция (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма     не равна нулю. Докажите это.