ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 415]      



Задача 65001

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65562

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Функции  f и g определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что  f представляется в виде суммы линейной и периодической функций:  f(x) = kx + h(x),  где k – число, h – периодическая функция. Доказать, что g также представляется в таком виде.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65593

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Иррациональные неравенства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Известно, что  а > 1.  Обязательно ли имеет место равенство   = ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65614

Темы:   [ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Существует ли такая функция  f(x), определённая для всех действительных чисел, что  f(sin x) + f(cos x) = sin x?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65842

Темы:   [ Счетные и несчетные подмножества ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найдутся ли такие функции p(x) и q(x), что p(x) – чётная функция, а p(q(x)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 415]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .