Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 410]

Задача 111345

Темы:	[	Интеграл и площадь	]
Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Автор: Сергеев И.Н.

Числа p и q таковы, что параболы y = – 2x² и y = x² + px + q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116589

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательность чисел a₁, a₂, ... задана условиями a₁ = 1, a₂ = 143 и при всех n ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116994

Тема:

[

Теорема о промежуточном значении. Связность

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Пусть x₁, x₂, ..., x_n – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что ¹/_n (|x – x₁| + |x – x₂| + ... + |x – x_n|) = ½.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61332

Темы:	[	Производная и касательная	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x₀ такое, что f (x₀) $\ne$ x₀ и x₂ = x₀.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61407

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n $\geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ x_n) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ f (x_n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 410]