Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 423]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Фирма записала свои расходы в рублях по 100 статьям бюджета, получив список из 100 чисел (у каждого числа не более двух знаков после запятой). Каждый счетовод взял копию списка и нашёл приближённую сумму расходов, действуя следующим образом. Вначале он произвольно выбрал из списка два числа, сложил их, отбросил у суммы знаки после запятой (если они были) и записал результат вместо выбранных двух чисел. С полученным списком из 99 чисел он проделал то же самое, и так далее, пока в списке не осталось одно целое число. Оказалось, что в итоге все счетоводы получили разные результаты. Какое наибольшее число счетоводов могло работать в фирме?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На доске написана функция sin $x$ + cos $x$. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству
$$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$
(Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через
f(x, y) номер первой из задач
x-го номера за
y-й год. Напишите общую формулу для
f(x, y), где
1 £ x £ 12 и
1970 £ x £ 1989. Решите уравнение
f(x, y) = y.
Например, f(6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.
Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 423]
Фильтр
