Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1363]      

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A₁ – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A₁, B, C и D тригармоническая. Точки B₁, C₁ и D₁ определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C₁, D₁ лежат на одной окружности;
  б) точки A₁, B₁, C₁, D₁ образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что BAC = , AC = b. Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках M и N, биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.

Прислать комментарий

Решение

Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$, вписанная в треугольник ABD, касается стороны AB в точке M, а окружность радиуса $\sqrt{3}$, вписанная в треугольник BCD, касается стороны BC в точке N. Известно, что BM = 6, BN = 5. Найдите стороны треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность S₁, вписанная в треугольник ABD, касается отрезка BD в точке M; окружность S₂, вписанная в треугольник BCD, — в точке N. Отношение радиусов окружностей S₁ и S₂ равно . Известно, что BM = 3, MN = ND = 1. Найдите стороны треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1363]