Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 797]      

На стороне AC треугольника ABC произвольно выбрана точка D. Касательная, проведённая в точке D к описанной окружности треугольника BDC, пересекает сторону AB в точке C₁; аналогично определяется точка A₁. Докажите, что  A₁C₁ || AC.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. A₀ – середина стороны BC. Прямые A₀B₁ и A₀C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно прямой BC, в точках P и Q. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA₀Q лежит на высоте треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  ∠B = 2∠C.  Точки P и Q на серединном перпендикуляре к стороне CB таковы, что  ∠CAP = ∠PAQ = ∠QAB = ⅓ ∠A.
Докажите, что Q – центр описанной окружности треугольника CPB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 797]