Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 797]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115896

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Углы между биссектрисами ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках M и N. Известно, что  ∠BAC = 2∠MAN.
Докажите, что  BC = 2MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116189

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть A₁, B₁, C₁ – середины сторон треугольника ABC, I – центр вписанной в него окружности, C₂ – точка пересечения прямых C₁I и A₁B₁, C₃ – точка пересечения прямых CC₂ и AB. Докажите, что прямая IC₃ перпендикулярна прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116764

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116776

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 797]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями