Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 797]      

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Через середины сторон BD и CD треугольника BCD проведены прямые, перпендикулярные этим сторонам. Эти прямые пересекают высоту DH треугольника или её продолжение в точках K и M. Известно, что DK = k, DM = m. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD.

Прислать комментарий

Решение

Через вершину M треугольника LMN проведена прямая, перпендикулярная стороне LN. Эта прямая пересекает в точках A и B серединные перпендикуляры к сторонам LM и NM. Известно, что AM = a, а радиус окружности, описанной около треугольника LMN, равен R. Найдите BM.

Прислать комментарий

Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC зафиксированы точки C₁ и A₁ соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC такую точку P, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC₁ и CPA₁ минимально.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 797]