Каталог по темам

Задачи

Страница: << 135 136 137 138 139 140 141 >> [Всего задач: 797]

Задача 110766

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110770

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115281

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC заданы длины двух сторон: AB = 6, BC = 16. Кроме того, известно, что центр окружности, проведённой через вершину B и середины сторон AB и AC, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116568

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116904

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Швецов Д.В., Заславский А.А.

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 135 136 137 138 139 140 141 >> [Всего задач: 797]