Каталог по темам

Задачи

Страница: << 138 139 140 141 142 143 144 >> [Всего задач: 797]

Задача 108225

Темы:	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116913

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Момент инерции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = ^r/₃ тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116141

Темы:	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108246

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Прислать комментарий Решение

Задача 109670

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 138 139 140 141 142 143 144 >> [Всего задач: 797]