Страница:
<< 154 155 156 157 158
159 160 >> [Всего задач: 797]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Две окружности
S1 и
S2 касаются внешним образом в точке
F. Их общая касательная касается
S1 и
S2 в точках
A и
B соответственно. Прямая, параллельная
AB, касается окружности
S2 в точке
C и пересекает окружность
S1 в точках
D и
E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников
ABC и
BDE, проходит через точку
F.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Четырехугольник
ABCD описан около окружности.
Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов
окружностей, вписанных в треугольники
ABC и
ACD .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность
σ касается равных сторон
AB и
AC равнобедренного
треугольника
ABC и пересекает сторону
BC в точках
K и
L .
Отрезок
AK пересекает
σ второй раз в точке
M . Точки
P и
Q симметричны точке
K относительно точек
B и
C соответственно.
Докажите, что описанная окружность треугольника
PMQ касается
окружности
σ .
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ωA треугольника BHC взята точка XA, что AH = AXA и H ≠ XA. Аналогично определены точки XB и XC. Докажите, что треугольник XAXBXC и ортотреугольник треугольника ABC подобны.
Страница:
<< 154 155 156 157 158
159 160 >> [Всего задач: 797]
Фильтр
