Каталог по темам

Задачи

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 797]

Задача 108217

Темы:	[	Поворотная гомотетия	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке M. Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AKM и BKM, перпендикулярна биссектрисе угла AKB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108249

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B₁ и B₂ – точки её пересечения со стороной AC, B₁ – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B₂E и B₁F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110753

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Протасов В.Ю.

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66936

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

Прислать комментарий Решение

Задача 108990

Темы:	[	Треугольник (построения)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Построения с помощью вычислений	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На основании BC треугольника ABC найти точку M так, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABM и AMC взаимно касались.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 797]