Каталог по темам

Задачи

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 1460]

Задача 56991

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56992

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56966

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 7
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Задача 56974

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7
Классы: 9

На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что $\angle$ AB₁A₁ = $\angle$ BC₁B₁ = $\angle$ CA₁C₁. Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ ABC, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 56993

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 7
Классы: 9

Прямые AK, BK и CK, где K — точка Лемуана треугольника ABC, пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что K — точка Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 1460]