Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?

   Решение

---

Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань ABC . Окружность верхнего основания пересекает рёбра DA , DB и DC , а её центр лежит в грани ABD . Радиус цилиндра равен 2, объём пирамиды ABCD равен 28 , ребро AB=12 . Найдите двугранный угол между гранями ABC и ABD и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

   Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 332]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65692

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Про приведённый многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2  многочлен    имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67318

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Индукция (прочее) ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79458

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116396

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что при  n > 1  число   1¹ + 3³ + ... + (2ⁿ – 1)^{2n – 1}   делится на 2ⁿ, но не делится на 2ⁿ⁺¹.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116402

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Многочлены (прочее) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц.
Докажите, что  [n + m]!  делится на произведение [n]!·[m]!.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 332]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями