Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 1280]      

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A₁, B₁, C₁, D₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ вписан в окружность с центром N.

Прислать комментарий

Решение

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC отметили точки K и L так, что  KL = BC  и  AK = LB.
Докажите, что отрезок KL виден из середины M стороны AC под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 1280]