Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 501]      

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции BCDE основание BE = 13, основание CD = 3, CE = 10. На описанной около трапеции BCDE окружности взята отличная от E точка A так, что CA = 10. Найдите длину отрезка BA и площадь пятиугольника ABCDE.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 . На меньшей дуге AB описанной окружности выбрана такая точка L , что LC=CB . При этом оказалось, что BLB1 = 90^o . Докажите, что высота AA1 делится высотой BB1 пополам.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O . Окружность, описанная вокруг треугольника ABO , пересекает сторону AD в точке E . Окружность, описанная вокруг треугольника DOE , пересекает отрезок BE в точке F . Докажите, что BCA = FCD .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 501]