- Диаметр, основные свойства (105 задач)
- Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих (236 задач)
- Хорды и секущие (прочее) (49 задач)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа
так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из
его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот
пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону был построен квадрат с центром $F$. Затем всё стерли, кроме точки $F$ и середин $N$, $K$ сторон $BC$, $AB$ соответственно. Восстановите треугольник.
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC
взяты точки P, Q и R соответственно. Докажите, что центры
описанных окружностей треугольников APR, BPQ и CQR
образуют треугольник, подобный треугольнику ABC.
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
В таблицу n*n записаны n2 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.
В данный треугольник поместите центрально симметричный
многоугольник наибольшей площади.
Задачи Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 401]
Задача 102242 |
|
|
На одной стороне угла A взяты точки B, C, D, а на другой – точки E, F, G, так, что FD ⊥ BC, CG ⊥ EF, EC ⊥ BD, BF ⊥ EG. Отношение длины отрезка BE к расстоянию от точки A до центра описанной вокруг четырёхугольника BDGE окружности равно 20/17. Найдите величину угла A.
|
|
Решение |
Задача 115292 |
|
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.
|
|
|
Решение |
Задача 115955 |
|
Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.
|
|
|
Решение |
Задача 52924 |
|
|
В треугольнике KLM точка B — центр вписанной окружности, а
точка C — центр окружности, описанной около треугольника KLM.
Прямая BC перпендикулярна биссектрисе MB треугольника KLM.
Известно, что угол BMC равен . Найдите углы
треугольника KLM.
|
|
|
Решение |
Задача 65382 |
|
Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.
|
|
|
Решение |
Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 401]
