Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 405]      

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H₁ и H₂ являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H₁H₂ проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q,  Y ≠ Q.)

Прислать комментарий

Решение

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB₁ – его симедиана, луч BB₁ вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC, а луч BH_B вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки H_A, H_C, T, L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  AB = BC,  ∠B = 20°.  Точка M на основании AC такова, что  AM : MC = 1 : 2,  точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 405]