Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

   Решение

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что +...+ = . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Прислать комментарий

Решение

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна .

Прислать комментарий

Решение

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Прислать комментарий

Решение

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]