Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1032]      

Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что всякий треугольник площади 1 можно накрыть равнобедренным треугольником площади менее  .

Прислать комментарий

Решение

Клетчатый бумажный прямоугольник 10×12 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1×1. Сколько частей могло получиться после того, как этот квадратик разрезали по отрезку, соединяющему
  a) середины двух его противоположных сторон;
  б) середины двух его соседних сторон?

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M так, что  ∠АМС = 150°.
Докажите, что отрезки АМ, ВМ и СМ таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1032]