Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1036]      

На плоскости стояло ведро, верхнее основание больше нижнего. Ведро перевернули. Докажите, что площадь его видимой тени уменьшилась. (Ведро — это прямой круговой усечённый конус: его основания — два круга, лежащие в параллельных плоскостях, центры кругов лежат на прямой, перпендикулярной этим плоскостям. Видимая тень — это вся тень, кроме тени под ведром. Солнечные лучи считайте параллельными.)

Прислать комментарий

Решение

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

Внутри равностороннего треугольника $ABC$ выбирается случайная точка $P$. Найдите вероятность того, что из отрезков $AP$, $BP$, $CP$ можно сложить остроугольный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ с углом $B$, равным $45^\circ$, выбрали соответственно точки $Q$ и $P$ так, что угол $BAP$ в три раза меньше угла $A$, а угол $BCQ$ в три раза меньше угла $C$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AP$ и $CQ$. Описанные окружности треугольников $BPM$ и $BQM$ повторно пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что из отрезков $AN$, $AC$ и $CK$ можно сложить треугольник, и найдите наибольший угол этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

а) Существует ли отличный от параллелограмма выпуклый четырёхугольник, который можно разрезать на любое количество равных выпуклых четырёхугольников от 2 до 100?

б) Существует ли выпуклый четырёхугольник, не имеющий ни центра, ни оси симметрии, который можно разрезать как на 2, так и на 47 равных выпуклых четырёхугольников?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1036]