Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 1032]      

Вписанная окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках B₁ и A₁ соответственно. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Прислать комментарий

Решение

Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).

Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

Прислать комментарий

Решение

а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами  (x, y),  лежащие в полосе  0 ≤ x ≤ b – 1.  Каждой такой точке припишем целое число  N(x, y) = ax + by.
  а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка  (x, y)  (0 ≤ x ≤ b – 1),  для которой  N(x, y) = c.
  б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение  ax + by = c  не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 1032]