Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]

Задача 67373

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Забазнов Г.

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67380

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бельский К.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$; $AD$, $BE$ и $CF$ – биссектрисы; $P$, $Q$ – проекции $A$ на $EF$ и $BC$; $R$ – вторая точка пересечения окружности $DEF$ с прямой $AD$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67556

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что никакие три разноцветные точки не лежат на одной прямой и на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?

Прислать комментарий Решение

Задача 116284

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58396

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB^.CD + BC^.AD $\ge$ AC^.BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то

$\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_... ...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6. \end{multline*}$

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]