Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 162]      

Через общую точку A окружностей S₁ и S₂ проведите прямую l так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями S₁ и S₂ имела заданную величину a.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что
  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и
  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).
Докажите, что
  а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей;
  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Прислать комментарий

Решение

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен?
б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

Прислать комментарий

Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ). Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит через точку X , касается стороны AC и пересекает описанную окружность треугольника ABC в таких точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX пополам и пересекает стороны AB и BC в точках P и Q . Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 162]