ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 289]      



Задача 64466

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть  r1r2r3r4  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что  r4 > 2r3?

б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть  r1r2r3r4  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что  r2 > 2r1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64650

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Задачи на движение ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пешеход Петя выходит из вершины A, идёт по стороне AB и далее по контуру четырёхугольника. Пешеход Вася выходит из вершины A одновременно с Петей, идёт по диагонали AC и одновременно с Петей приходит в C. Пешеход Толя выходит из вершины B в тот момент, когда её проходит Петя, идёт по диагонали BD и одновременно с Петей приходит в D. Скорости пешеходов постоянны.
Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей O одновременно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66138

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66721

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$,  $BE \geqslant 2AM$.  Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105182

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Существует ли тетраэдр, все грани которого — равные прямоугольные треугольники?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 289]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .