Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 [Всего задач: 80]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного
радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего
радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол
(т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так,
чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на
любой заданный угол). Докажите, что R
1/3.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Пусть a, b, c, d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, S — его площадь. Докажите неравенства:
а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A1A2... A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника
ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и
A'B'C'D'E' связаны
соотношением:
SA'B'C'D'E'
SABCDE.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не
содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через S' . Докажите, что
<3 .
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 [Всего задач: 80]
Фильтр
