Страница:
<< 39 40 41 42
43 44 45 >> [Всего задач: 236]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
В прямоугольном треугольнике ABC CH – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает больший катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что:
а) B'M || BC;
б) AK – касательная к окружности.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Треугольники ABC и A1B1C1 – равнобедренные прямоугольные (стороны AB
и A1B1 – гипотенузы). Известно,
что C1 лежит на BC, B1 лежит на AB, а A1 лежит на AC. Докажите, что AA1 = 2CC1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_1, BH_2, CH_3$, которые пересекаются в ортоцентре $H$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ пересекает во второй раз высоты $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ – средняя линия треугольника $ABC$.
Пусть точки
A ,
B ,
C лежат на окружности, а прямая
b касается этой окружности в точке
B . Из точки
P , лежащей
на прямой
b , опущены перпендикуляры
PA1 и
PC1 на прямые
AB и
BC соответственно (точки
A1 и
C1 лежат на
отрезках
AB и
BC ). Докажите, что
A1C1 
AC .
Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.
Страница:
<< 39 40 41 42
43 44 45 >> [Всего задач: 236]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Четыре точки, лежащие на одной окружности
