Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 236]      

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC соответственно, а I_a и J_a – центры вневписанных окружностей треугольников ABC и ADC, вписанных в углы BAC и DAC соответственн). Докажите, что точка K пересечения прямых IJ_a и JI_a лежит на биссектрисе угла BCD.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$, где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности S_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть l_i, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек A_i, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).

Прислать комментарий

Решение

Пусть на двух пересекающихся прямых l₁ и l₂ выбраны точки M₁ и M₂, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M₁, M₂ и M.
Если (l₁, M₁), (l₂, M₂), (l₃, M₃) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l₁, M₁) и (l₂, M₂), (l₂, M₂) и (l₃, M₃), (l₃, M₃) и (l₁, M₁), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 236]