Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 236]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108121

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108242

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На плоскости дана окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные хорды XY, проходящие через точку A. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BXY лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108927

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На стороне BC остроугольного треугольника ABC взята точка K. Биссектриса угла CAK вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что если прямая LK перпендикулярна отрезку AB, то либо  AK = KB,  либо  AK = AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65256

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке C пересекает прямую AB в точке D. Пусть I – центр вписанной окружности, треугольника ABC. Прямые AI и BI пересекают биссектрису угла CDB в точках Q и P соответственно. Пусть M – середина отрезка PQ. Докажите, что прямая MI проходит через середину дуги ACB окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66248

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 236]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями