На графике квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

   Решение

Дан многочлен с целыми коэффициентами. Если в него вместо неизвестного подставить 2 или 3, то получаются числа, кратные 6.
Докажите, что если вместо неизвестного в него подставить 5, то также получится число, кратное 6.

   Решение

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде     где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.

   Решение

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC, диагонали трапеции пересекаются в точке E, F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на сторону AB. Известно, что  ∠DFE = α.  Найдите ∠CFE.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 122]      

В параллелограмме ABCD точки E и F лежат соответственно на сторонах AB и BC, M – точка пересечения прямых AF и DE, причём  AE = 2BE,
а  BF = 3CF.  Найдите отношение  AM : MF.

Прислать комментарий

Решение

Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём  BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3.  Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что
AR : RC = 1 : 2.  Чему равно отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?

Прислать комментарий

Решение

Дана трапеция ABCD. Параллельно её основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны AB и CD соответственно в точках P и Q, а диагонали AC и BD соответственно в точках L и R. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что  BC = a,  AD = b,  а площади треугольников BOC и LOR равны. Найдите PQ, если точка L лежит между точками A и O.

Прислать комментарий

Решение

Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка D делит сторону AB пополам, а точка E лежит на стороне BC, причём отрезок BE в 3 раза меньше стороны BC. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Найдите AB, если известно, что  AE = 5,  OC = 4,  а  ∠AOC = 120°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 122]