ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 147]      



Задача 66805

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что $$ \frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}. $$
Прислать комментарий     Решение


Задача 55488

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Около прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = 5 и BC = 12 описана окружность. Точки E и G — середины меньших дуг AC и BC этой окружности, точка F — середина дуги AB, не содержащей точки C. Найдите площадь четырёхугольника AEGF.

Прислать комментарий     Решение


Задача 98138

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна    .   Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111664

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB . Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD
Прислать комментарий     Решение


Задача 111681

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Площади криволинейных фигур ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три "внешних" криволинейных треугольника и один "внутренний" (см. рис.1). Докажите, что если из суммы площадей "внешних" треугольников вычесть площадь "внутреннего", то получится удвоенная площадь треугольника ABC .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 147]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .