Каталог по темам

Задачи

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1240]

Задача 109820

Темы:	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P₁ , P₂ , P12 , ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P₂ пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P₁ и P₃ , P₃ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₂ и P₄ , и т.д., P12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11 и P₁ , P₁ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12 и P₂ ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)

Прислать комментарий Решение

Задача 109859

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 109891

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Системы точек	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.

Прислать комментарий Решение

Задача 110198

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110206

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Раскраски	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1240]