Каталог по темам

Задачи

Страница: << 220 221 222 223 224 225 226 >> [Всего задач: 1240]

Задача 73814

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или –1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на а) любых трёх карточках; б) любых трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь n — натуральное число, большее 3).

Прислать комментарий Решение

Задача 76439

Темы:	[	Касательные к сферам	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.)

Прислать комментарий Решение

Задача 76444

Темы:	[	Свойства сечений	]
	[	Правильные многогранники (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный шестиугольник?

Прислать комментарий Решение

Задача 79290

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Вспомогательная раскраска	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Климов А.В.

Прямоугольный лист бумаги размером a×b см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел a или b целое.

Прислать комментарий Решение

Задача 73810

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Условная сходимость	]

Сложность: 9
Классы: 9,10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 220 221 222 223 224 225 226 >> [Всего задач: 1240]