Страница:
<< 181 182 183 184
185 186 187 >> [Всего задач: 1240]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
На каждой клетке шахматной доски стоит шашка, с одной стороны белая, с другой черная. За один ход можно выбрать любую шашку и перевернуть все шашки, стоящие с выбранной на одной вертикали, и все шашки, стоящие с ней на одной горизонтали.
а) Придумайте, как перевернуть ровно одну шашку на доске 6×6, произвольно уставленной шашками.
б) Можно ли добиться того, чтобы все шашки на доске 5×6 стали белыми, если чёрными изначально была ровно половина шашек.
Найдите максимальное значение выражения |...||x1 – x2| – x3| – ... – x1990|, где x1, x2, ..., x1990 – различные натуральные числа от 1 до 1990.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь
которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка,
принадлежащая всем этим фигурам.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа n + 1, nn + 1,
nnn + 1, ... делятся на a.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Докажите тождества:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что 
– это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что – это коэффициент при xk у многочлена (1 + x)n; пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).
Страница:
<< 181 182 183 184
185 186 187 >> [Всего задач: 1240]
Фильтр
