Каталог по темам

Задачи

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 354]

Задача 57072

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
а) {p, q, r} = {1, 3, 4},
б) {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79240

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Ионин Ю.И.

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Прислать комментарий

Решение

Задача 57004

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Взаимное расположение двух окружностей	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61283

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Тригонометрические замены	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 73792

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При каких натуральных n ≥ 2 неравенство выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
а) p = 1;
б) p = ⁴/₃;
в) p = ⁶/₅?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 354]