Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если B1C1=6 , AK=6 , а расстояние между прямыми BC и B1C1 равно 2.

   Решение

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x² – y² = 1988.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]      

В остроугольном треугольнике ABC высота AD, медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке O. Найдите ∠C,  если OE = 2OC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC биссектриса AD, высота BE и медиана CF пересекаются в точке O. Найдите ∠A, если  AF = OF  и  ∠A > 60°.

Прислать комментарий

Решение

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Прислать комментарий

Решение

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Прислать комментарий

Решение

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   A_kOA_k+1 на прямых   A₁A_2k, A₂A_2k–1, ..., A_kA_k+1,  равна R.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]