Страница:
<< 1 2
3 4 >> [Всего задач: 17]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить
N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях: а)
N = 3; б)
N = 4.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой
окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через
отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
б) Та же задача для n отмеченных точек.
|
|
Сложность: 5- Классы: 10,11
|
На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности
радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найдите радиус
окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной
сфере и касается каждой из данных окружностей.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в
300
o каждая,
чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.
Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
На плоскости
α , проходящей через центр шара радиуса
R , задана
окружность с центром
O1
и радиусом
r1
, расположенная внутри
шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой
A ,
принадлежащей шару и удалённой от плоскости
α на расстояние
R .
Множество отличных от
A точек пересечения этих прямых с
поверхностью шара является окружностью радиуса
r2
, плоскость
которой образует угол
ϕ с плоскостью
α . Найдите расстояние
между точками
A и
O1
.
Страница:
<< 1 2
3 4 >> [Всего задач: 17]