Каталог по темам

Задачи

Страница: << 225 226 227 228 229 230 231 >> [Всего задач: 1359]

Задача 61541

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Задачи-шутки	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

$\begin{picture} (80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(... ...(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50) \end{picture}$

$\begin{picture} (150,50)\multiput(0,0)(0,10){6}{\line(1,0){130}} \multiput(0,0... ...0,1){30}}\put(50,20){\line(0,1){30}} \qbezier(0,0)(65,25)(129,50) \end{picture}$

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66521

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Логика и теория множеств (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Ященко И.В.

На доске написаны числа 2, 3, 4, ..., 29, 30. За рубль можно отметить любое число. Если какое-то число уже отмечено, можно бесплатно отмечать его делители и числа, кратные ему. За какое наименьшее число рублей можно отметить все числа на доске?

Прислать комментарий Решение

Задача 66535

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Евдокимов М.А.

Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвертое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

Прислать комментарий Решение

Задача 67464

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Взвешивания	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Горяшин Д.В.

Кусок сыра массой 1 кг разрезали на $n\geqslant 4$ кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масса любых двух из них больше 600 г.

Прислать комментарий Решение

Задача 67472

Темы:	[	Оценка + пример	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Обратный ход	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На столе лежит колода из 36 карт, верхняя из которых червонный туз. За одно «перемешивание» фокусник снимает верхнюю половину колоды и кладёт рядом с нижней, а затем делает так, чтобы карты двух стопок чередовались: сначала нижняя карта левой или правой стопки, потом первая снизу другой стопки, потом вторая снизу карта первой стопки, вторая снизу карта другой стопки, и так далее (см. рисунок).

Какое наименьшее число перемешиваний нужно сделать фокуснику, чтобы червонный туз оказался нижней картой колоды? При каждом перемешивании то, из какой половины карта окажется снизу, фокусник выбирает сам.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 225 226 227 228 229 230 231 >> [Всего задач: 1359]