Каталог по темам

Задачи

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 522]

Задача 110203

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111714

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Прямые, симметричные диагонали BD четырёхугольника ABCD относительно биссектрис углов B и D, проходят через середину диагонали AC.
Докажите, что прямые, симметричные диагонали AC относительно биссектрис углов A и C, проходят через середину диагонали BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66815

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Пусть $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$, $K$ – центр вписанной окружности треугольника $PAB$, а $F$ – точка касания вписанной окружности треугольника $PAC$ со стороной $BC$. Точка $G$ на $CK$ такова, что $FG\parallel PK$. Найдите геометрическое место точек $G$.

Прислать комментарий Решение

Задача 116653

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кунгожин М.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I₁ и I₂ центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I₁, I₂, A, N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 54257

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании.
Найдите стороны трапеции, если её высота равна 12, а длины биссектрис равны 15 и 13.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 522]