Страница: << 93 94 95 96 97 98 99 >> [Всего задач: 512]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108137

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема синусов ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к ω, проведённая через точку B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что  AM = AD  и  BK = BC.  Докажите, что ABCD – трапеция.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109439

Темы:   [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ является квадрат АВСD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109553

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Две окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S₂ в точке C и пересекает окружность S₁ в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109689

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Касательные к сферам ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115331

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Обозначим через L основание биссектрисы угла B, а через K – точку пересечения прямых B₁I и A₁C₁. Докажите, что  KL || BB₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 93 94 95 96 97 98 99 >> [Всего задач: 512]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями