Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 235]      

  Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1,  P₀ = a₀,  P_k = a_kP_k–1 + P_k–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби ^P_k/_Qk называются подходящими дробями к числу  [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  ^P_k/_Qk = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
    б)  P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
    в)   (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби   [a₀; a₁, ..., a_n, ...]  существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если положительная квадратичная иррациональность  α =   разлагается в чисто периодическую цепную дробь, то сопряженная ей квадратичная иррациональность  α' =   принадлежит интервалу  (– 1, 0).

Прислать комментарий

Решение

  Число  N = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  N² = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = N.
  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Прислать комментарий

Решение

Число    представили в виде несократимой дроби.
Докажите, что если  3n + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 235]