Выбрано 20 задач 
Убрать все задачи
Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество Юриных марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков.
В городе Цветочном n площадей и m улиц (m ≥ n + 1). Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD . На отрезке AB взяли точку M так, что AM=AC , а на отрезке CD – точку N так, что DN=DB . Докажите, что если точки M и N не совпадают, то прямая MN параллельна прямой AD .
Петя разрезал фигуру на две равные части, как
показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные
части другим способом.
Квадрат разрезали на несколько частей. Переложив эти части, из них всех сложили треугольник. Затем к этим частям добавили еще одну фигурку – и оказалось, что и из нового набора фигурок можно сложить как квадрат, так и треугольник. Покажите, как такое могло бы произойти (нарисуйте, как именно эти два квадрата и два треугольника могли бы быть составлены из фигурок).
Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми AD и BE.
Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром 1998?
(Прямоугольники a×b и b×a считаются одинаковыми.)
Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?
В неравнобедренном треугольнике ABC высота из вершины A, биссектриса из вершины B и медиана из вершины C пересекаются в одной точке K.
а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?
б) Какой из отрезков AK, BK, CK средний по величине?
Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно
89 способами.
Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.
В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.
В выпуклом многоугольнике из каждой вершины опущены перпендикуляры на все не смежные с ней стороны. Может ли оказаться так, что основание каждого перпендикуляра попало на продолжение стороны, а не на саму сторону?
Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b будем обозначать [a, b]. Пусть натуральное число n таково, что [n, n + 1] > [n, n + 2] > ... > [n, n + 35].
Докажите, что [n, n + 35] > [n, n + 36].
Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
а) 2012,
б) 2013 плоскостей симметрии?
в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?
Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''. Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу?
|
|
 |
Условие
Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''. Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу?
Подсказка
Разбейте ''следующее'' высказывание пополам и сравните с ''предыдущим''.
Решение
Разбив ''следующее'' высказывание на две равные части, мы видим, что первая половина совпадает с ''предыдущим'', а вторая получается из предыдущего ''отражением в зеркале'', то есть заменой букв А на буквы У и наоборот.
Ответ
'' АУУАУААУУААУАУУАУААУАУУААУУАУААУ!''
