Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
К двум окружностям w1 и w2, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w1 и w2 в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).
Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?
Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте такой разрез, если нет — напишите слово '' нельзя''.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.
О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.
Если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3. Доказать.
Окружность S1 проходит через центр окружности S2 и пересекает её в точках A и B . Хорда AC окружности S1 касается окружности S2 в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5:7 . Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S2 делится окружностью S1 .
Назовем усреднением последовательности ak действительных чисел последовательность
a'k с общим членом a'k= .
Рассмотрим последовательности: ak , a'k – ее усреднение, a''k –
усреднение последовательности a'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательность ak – хорошая. Докажите, что если
последовательность xk – хорошая, то последовательность xk2 – тоже хорошая.
В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Существуют ли такие действительные числа b и c, что каждое из уравнений x² + bx + c = 0 и 2x² + (b + 1)x + c + 1 = 0 имеет по два целых корня?
Назовём белыми числа вида $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$, где $a$ и $b$ — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём чёрными числа вида $\sqrt{c+d\sqrt{7}}$, где $c$ и $d$ — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых?
|
|
 |
Условие
Назовём белыми числа вида $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$, где $a$ и $b$ — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём чёрными числа вида $\sqrt{c+d\sqrt{7}}$, где $c$ и $d$ — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых?
Решение
Например, $$\sqrt{3+ \sqrt{2}}+ \sqrt{3- \sqrt{2}}= \sqrt{6+2 \sqrt{7}}.$$ Это равенство легко проверить возведением в квадрат.
Как догадаться до такого равенства? Будем искать черное число, равное сумме двух белых. Опыт работы с радикалами подсказывает, что нужно брать сопряженные белые числа: $$ \sqrt{A+B \sqrt2}+ \sqrt{A-B \sqrt2}= \sqrt{C+D \sqrt7}.$$ Возводя обе части равенства в квадрат, получим: $$2A+2 \sqrt{A^2-2B^2}=C+D \sqrt7. (*)$$ Итак, достаточно подобрать такие числа $A$ и $B$, что $A^2-2B^2=7$, тогда можно взять $C = 2 A$, $D = 2$.
Комментарии. 1. Уравнение $A^2-2B^2=7$ имеет бесконечно много решений в целых числах. Поэтому и уравнение $(*)$ имеет бесконечно много решений. Это связано с тем, что уравнение Пелля $A^2-2B^2=1$ имеет бесконечно много решений в целых числах.
2. Имеется критерий представимости чисел в виде $A^2 - 2 B^2$ с целыми $A$ и $B$, похожий на критерий представимости чисел в виде суммы двух квадратов, см. комментарий к задаче 4 для 11 класса олимпиады 1996 г.
3. У исходной задачи есть и другие решения: $$\sqrt{26-18\sqrt{2}}+ \sqrt{5+3 \sqrt{2}} + \sqrt{27+9 \sqrt{2}}= \sqrt{54+18 \sqrt{7}},$$ $$\sqrt{mn+m+2m \sqrt n}+ \sqrt{mn+m-2m \sqrt n}+ \sqrt{n+1+2 \sqrt n}+ \sqrt{n+1-2 \sqrt n} = \sqrt{4mn+4n+8n \sqrt m}.$$ Здесь первое равенство следует из равенства $$ \big((2- \sqrt2)+(1+ \sqrt2)\big) \sqrt{3- \sqrt2}+3 \sqrt{3+ \sqrt2}=3 \sqrt{6+2 \sqrt7}. $$ Оно показывает, что число белых слагаемых может быть равно трем. Второе равенство показывает, что пару чисел $(2, 7)$ можно заменить на любую другую пару чисел, не являющихся полными квадратами (это равенство фактически придумано школьником на олимпиаде).
4. Интересно, что для "ординарных" радикалов ответ на аналогичный вопрос отрицательный. Если $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ – различные простые числа, то ни один из корней $ \sqrt{p_i}$ не представляется в виде суммы других с рациональными коэффициентами. Верно и более общее утверждение, но доказательство его гораздо сложнее: сумма чисел вида $ \sqrt[n_i]{p_{i}^{m_i}}$ с рациональными коэффициентами является иррациональным числом, если все дроби $m_i/n_i$ правильные и различные.
5. Заметим, что решение уравнений в радикалах – знаменитая тема, которая положила начало современной алгебре. Замечания по поводу этой задачи присылайте ее автору по адресу markelov@mccme.ru.
