Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.
Найдите x1000, если x1 = 4, x2 = 6, и при любом натуральном n ≥ 3 xn – наименьшее составное число, большее 2xn–1 – xn–2.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек
можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных
окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно. Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите, что KC' – биссектриса угла AKB.
Две окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S2 в точке C и пересекает окружность S1 в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.
|
|
 |
Условие
Две окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S2 в точке C и пересекает окружность S1 в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.
Решение
Точки A, F и C лежат на одной прямой (см. задачу 109566). Докажем, что центры описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников ABC и BDE соответственно, лежат на AC. Поскольку общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии центров и BF ⊥ FC (BC – диаметр S2), отсюда следует утверждение задачи.
Центр ω1 лежит на AC, так как треугольник ABC – прямоугольный.
Пусть радиусы S1 и S2 равны R и r соответственно. Тогда из прямоугольной трапеции BAO1O2, где O1 и O2 – центры S1 и S2,
находим AB = 2 (рис. слева).
AD : AO1 = AN : AM, или AD : R = 2r : AD/2, откуда AD = 2
