Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Выпуклой фигурой F нельзя накрыть полукруг радиуса R. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными F, можно накрыть круг радиуса R?
Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом
и полупериметром p наибольшую площадь имеет равнобедренный
треугольник с основанием BC.
Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.
Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную
1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно
неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее
.
На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что ∠BAX = ∠CAY.
Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K1 и K2 делят
соответственно стороны AB и DC в отношении , точки K3 и K4
делят соответственно стороны BC и AD в отношении
. Доказать, что
отрезки K1K2 и K3K4 пересекаются.
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
K членов Жюри Десятой Всероссийской олимпиады школьников по информатике решили отметить столь круглую годовщину в одном из лучших ресторанов на Невском проспекте. На десерт вниманию Жюри предложили торт, имеющий форму прямоугольной призмы с выпуклым N-угольником в основании. Жюри вооружается десертными ножами и собирается справедливо разделить торт на K частей равного объема. Ножами можно проводить прямые вертикальные разрезы от одной границы торта до другой; различные разрезы могут иметь общие точки лишь в своих концевых вершинах.
Напишите программу, помогающую членам Жюри построить требуемые
K-1 разрезов.
Входные данные
В первой строке входного файла содержатся два целых числа K и N
(1 ≤ K, N ≤ 50). Далее следуют N пар вещественных чисел – координаты
последовательно расположенных вершин N-угольника.
Выходные данные
Каждый из K-1 разрезов в выходном файле должен быть представлен четверкой
чисел – координатами своих концов. Все числа должны быть разделены
пробелами и/или символами перевода строки.
Пример входного файла
4 3
2 1
0 0.5
4 0.5
Пример выходного файла
2 1 1 0.5
2 1 2 0.5
2 1 3 0.5
Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.
|
|
 |
Условие
Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.
Решение
Предположим, что прямые AD и BC пересекаются в точке M. Пусть X, Y – точки пересечения этих прямых с прямой KL. Тогда по теореме о полном четырёхстороннике (см. задачу 58441) двойные отношения (ADMX) и (BCMY) равны –1. Следовательно, оба отношения AX : XD и BY : YC либо больше, либо меньше 1, и отрезок XY не пересекается с отрезком, соединяющим середины сторон AD и BC, на котором лежит центр тяжести вершин четырёхугольника. Поэтому условие задачи выполняется только при AD || BC.
