Метро города Урюпинска состоит из трёх линий и имеет по крайней мере две конечные станции и по крайней мере два пересадочных узла, причём ни одна из конечных станций не является пересадочной. С каждой линии на любую из остальных можно перейти по крайней мере в двух местах. Нарисуйте пример такой схемы метро, если известно, что это можно сделать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза один и тот же отрезок.

   Решение

Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание -- 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мало. За какое наименьшее время электрик заведомо может найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная лампочка?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.

   Решение

В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?

   Решение

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль – 5, а Тофсла – 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются и один снежок не может попасть в двоих.)

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD точки M и N так, чтобы угол при вершине A равнобедренного треугольника MAN был равен α .

   Решение

На доске записано число 61. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на это место произведение его цифр, увеличенное на 13. После первой минуты на доске записано 19  (6·1 + 13 = 19).  Какое число можно будет прочитать на доске через час?

   Решение

Если смотреть на аквариум спереди, то рыбка проплыла, как показано на левом рисунке. А если справа — то как на правом рисунке. Нарисуйте вид сверху.

   Решение

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Обозначим через I центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а через A₀, B₀, C₀ – точки её касания со сторонами BC, CA, AB, соответственно. Будем считать, что точка A₁ лежит на отрезке A₀B. Заметим, что  CA₀ + AC₀ = CB₀ + AB₀ = CA.  Из условия следует, что  CA₁ + AC₁ = CB₁ + AB₁ = CA.  Отсюда  CA₀ – CA₁ = AC₁ – AC₀;  это значит, что  A₁A₀ = C₁C₀,  и точка C₁ лежит на отрезке C₀A. Поэтому прямоугольные треугольники IA₀A₁ и IC₀C₁ равны по двум катетам (см. рис.).
  Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ.  ∠IA₁C = ∠IC₁B,  следовательно, четырёхугольник BC₁IA₁ вписан. Точки B, I_B и I лежат на одной прямой (биссектрисе угла A₁BC₁), поэтому  ∠A₁I_BI = ∠BA₁I_B + ∠A₁BI_B = ∠I_BA₁C₁ + ∠C₁BI = ∠I_BA₁C₁ + ∠C₁A₁I = ∠I_BA₁I.  Значит, треугольник II_BA₁ равнобедренный:  II_B = IA₁. Аналогично  II_B = IC₁ = II_A = IB₁ = II_C = IA₁.  Следовательно, I – центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C.

  Второй способ.  IA₁ = IC₁,  аналогично   IA₁ = IB₁.  Таким образом I – центр описанной окружности Ω треугольника A₁B₁C₁ (см. рис.).
  ∠A₁IC₁ = ∠A₀IC₀ = 180° – ∠B.  Значит,  ∠A₁B₁A₁ = 90° – ½ ∠B = 180° – ∠A₁I_BC₁  (см. задачу 55448). Следовательно, точка I_B лежит на Ω.
  Так же доказывается, что на Ω лежат I_A и I_C.

Замечания

Ср. с задачей 116776.

Источники и прецеденты использования